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复变函数(中央广播电大)

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 楼主| 发表于 2011-3-4 01:18:03 | 显示全部楼层 |阅读模式
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课件名称课件名称
第1章 第2章
第3章 第4章
第5章 第6章
第7章 第8章

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 楼主| 发表于 2011-3-4 01:18:27 | 显示全部楼层
课程说明 
复变函数 本课程 4 学分, 72 学时,一学期开设。
   本课程的内容分为五个部分。第一部分是关于解析函数的判别、性质及复积分的计算,并以柯西积分定理为基础,以复积分为工具,揭示解析函数一系列重要特性;第二部分是关于解析函数的级数展式,介绍解析函数的一些重要特性和孤立奇点;第三部分是关于留数的理论及其应用,是柯西积分理论的继续;第四部分是保形映射,是解析函数的几何理论;第五部分是解析开拓,完全解析函数。
   通过学习,使学员系统掌握复变函数的基本概念和基本理论,巩固并加深理解微积分和级数的有关知识,居高临下地指导中学数学教学。
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 楼主| 发表于 2011-3-4 01:19:41 | 显示全部楼层

RE: 复变函数(中央广播电大) 教学大纲

   第一部分 大纲说明
  一、课程性质
  本课程是根据中国共产党第十六次全国代表大会关于“高举邓小平理论伟大旗帜,全面贯彻“三个代表”重要思想,继往开来,与时俱进,全面建设小康社会,加快推进社会主义现代化,为开创中国特色社会主义事业新局面而奋斗”的精神,为培养电大学生掌握邓小平理论的科学体系和“三个代表”重要思想精神实质而开设的公共必修基础理论课。
                                       
  二、课程的目的与要求
   开设本课程,主要是使学生在学习与掌握复变函数的基本理论与方法的基础上,一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助,另一方面,使学生具备一定的解决实际问题的能力,再就是使学生对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识,从而增强做好中学数学教育工作的能力。
                                       
  三、课程的教学要求层次
   教学要求层次:有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求;有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。
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 楼主| 发表于 2011-3-4 01:20:05 | 显示全部楼层
第二部分 学时、教材与教学安排

  一、学时分配
  本课程共 4 学分,讲授 72 学时(包括习题课),学时分配如下:


  二、 教学安排
  复变函数课程安排在第 3 学期,一个学期完成全部教学任务。   
  三、教材
  1 .文字教材是传授课程基本内容的主要媒体,是其它教学媒体的基础和核心。根据远程开放教育的要求和电大学生入学时水平参差不齐的实际情况,文字教材由主教材和辅导教材两部分组成。
  主教材和辅导教材是学生学习的主要用书,主教材是课程的基本内容,是教和学的主要依据。辅导教材对主教材的内容进行归纳、总结,帮助学生进一步理解基本概念,掌握基本方法,并通过典型例题介绍解题规律和技巧,提高学生解题能力。
  文字教材的编写,除要确保教材所必需的科学性、系统性、思想性及文图水平外,在内容的选取上,力图使起点适当,难度、深度与广度适中,重点突出,主次分明,详略得当。在写法上,要便于自学与自检。                                        
  2. 电视录像教材是学生获得本课程知识的主要媒体之一。                                        
  本课程的电视课以重点内容系统讲授和非重点内容精讲相结合的方式进行。精讲是讲要点、讲方法,或解答疑难问题。
  在电大多年录像教材的基础上,进行多种媒体的一体化设计,适当地多引入一些现代化教学手段,如计算机虚拟教室环境、动画、字幕、实镜等 , 强化教学效果。
  3. IP 课程是基于网络的新型教学媒体之一。
  本课程要积极探索基于网络环境的远程开放教育的教学模式、学习模式,充分利用 IP 课程的卫星、网络传播的优势,充分发挥 IP 课程的教学内容可选和交换性,为学生自主学习本课程提供更方便的教学资源。
  四、教学环节
  1. 本课程配有电视课和 IP 课程,是重要教学形式。
  2. 自学
  自学是电大学生获得知识的重要方式,自学能力的培养也是远程开放高等教育的目的之一,本课程的教学要注意对学生自学能力的培养。学生可以通过自学,收看电视、 IP 课程、直播课堂和网上教学辅导等方式进行学习,各教学点可以采用灵活多样的助学方式,帮助学生学习。
  3. 面授助学
  面授助学要服务于教学大纲、文字教材、音像教材或 IP 课程,采用讲解、讨论、答疑等方式,通过解题思路分析,基本方法训练,培养学生基本运算的能力和分析、解决问题的能力。
  4. 作业
  独立完成作业是学生学好本课程的一项重要的、必不可少的工作。作业内容以教材中的习题为主,通过这些习题的练习,逐步加深对课程中概念的理解,熟悉各种基本解题方法,达到消化、掌握所学知识的目的。
  5. 考试
  期末考试是对教与学的全面验收,是不可缺少的教学环节。
  考试题目要全面,符合大纲要求,同时要做到体现重点,题量适度,难度适中,难度和题量的梯度应按照教学要求的三个不同层次安排。不出难题,怪题。
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 楼主| 发表于 2011-3-4 01:20:21 | 显示全部楼层
第三部分 教学内容与教学要求
  一、复数与复变函数 (8 学时 )
  ( 一 ) 教学内容
  1. 复数发展史略。
  2. 复数定义及运算:复数的定义、相等及运算,复数的代数式,复数的模与辐角,共轭复数。
  3. 复平面与复球面:复平面,复数的向量式、三角式与指数式,复数的乘幂与 n 次方根,无穷远点与复球面。
  4. 复数的应用举例。
  5. 平面点集:邻域,聚点,孤立点,内点,外点,边界点,边界,开集,闭集,有界集,曲线(连续曲线,简单曲线,简单闭曲线,光滑曲线,逐段光滑曲线),区域,闭区域,单连通区域,复连通区域,几个重要定理(闭矩形套定理,有限复盖定理,聚点原理),无穷远点的邻域
  6. 复变函数,极限,连续:复变函数(单值函数,多值函数,单叶函数,反函数,无界函数),极限,有界数列,无界数列,几个定理(柯西收敛准则等), 的充分必要条件,复变函数的连续性,复变函数连续性与其实部和虚部连续性的关系。
  重点 :复变函数及其极限与连续。
  难点 :无穷远点及无穷远点邻域。
  ( 二 ) 教学基本要求
  1. 了解复数定义及其几何意义,熟练掌握复数的运算。
  2. 知道无穷远点邻域。                                        
  3. 了解单连通区域与复连通区域。
  4. 理解复变函数、极限与连续。


  二、解析函数 (5 学时 )
  ( 一 ) 教学内容
  1. 复变函数的导数。
  2. 解析函数:函数在一点解析的定义,解析点,解析域,解析函数的运算,柯西 —— 黎曼条件,函数解析的充分必要条件。
  3. 调和函数:调和函数定义,解析函数与调和函数的关系。
  重点:1. 解析函数定义。2. 解析函数的充分必要条件及柯西 —— 黎曼条件所揭示的解析函数的特征。
  难点 :已知解析函数的实部(或虚部),求该解析函数。
  ( 二 ) 教学基本要求
  1. 理解解析函数的定义,性质及其充分必要条件。
  2. 了解函数在一点解析与函数在一点可导的区别。
  3. 熟练掌握利用柯西 —— 黎曼条件判别解析函数的方法。
  4. 熟练掌握“已知解析函数的实部(或虚部),求该解析函数”的方法。


  三、初等函数 (5 学时 )
  ( 一 ) 教学内容
  1. 幂函数与根式函数:幂函数,有理函数,根式函数(支,主值支,支点,支割线)。
  2. 指数函数与对数函数:指数函数及其主要性质,对数函数(支,主值支,支点,支割线)。
  3. 三角函数,一般幂函数,一般指数函数。
   重点 : 与 的定义及其主要性质。
   难点 :支点。
( 二 ) 教学基本要求
1. 理解 与 的定义及其主要性质 。
2. 知道支点概念。                                        


   四、解析函数的积分理论 (12 学时 )
  ( 一 ) 教学内容
  1. 积分的定义、性质和计算。
  2. 积分基本定理:单连通区域的柯西定理,复连通区域的柯西定理。
  3. 积分基本公式与高阶导数公式。
  4. 积分理论的应用:柯西不等式,刘维尔定理,代数基本定理,平均值定理,最大模原理。
  5. 牛顿 — 莱不尼兹公式:牛顿 — 莱不尼兹公式,不定积分,莫瑞拉定理。
  重点 : 1. 积分基本定理。 2. 积分基本公式。 3. 高阶导数公式。
  难点 :计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分。
  ( 二 ) 教学基本要求
  1. 理解积分基本定理、积分基本公式、高阶导数公式,了解刘维尔定理、最大模原理,知道证明它们的方法。
  2. 掌握利用积分基本定理和莫瑞拉定理判别解析函数的方法。
  3. 熟练掌握利用积分基本定理、积分基本公式和高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分。

                                       
  五、解析函数的幂级数表示(8学时)
  (一)教学内容
  1.复级数的基本概念:复数项级数,函数项级数,一致收敛的柯西判别法,维尔斯特拉斯判别法,和函数的连续性,逐项积分,逐项微分。
  2.幂级数:幂级数的概念,收敛圆,收敛半径,和函数的解析性。
  3.解析函数的泰勒展开式:泰勒定理,解析函数表成幂级数的例子。
  4.解析函数的零点及唯一性定理:解析函数零点的孤立性,解析函数的唯一性。
  重点:1.幂级数的收敛圆及收敛半径的求法。2.将函数在一点展成幂级数的方法。3.解析函数的唯一性定理。
  难点:利用级数乘法将函数在指定点展成泰勒级数。
  (二)教学基本要求
  1.了解复级数的基本概念。
  2.理解解析函数的幂级数表示。
  3.理解收敛圆及收敛半径的概念,熟练掌握收敛圆及收敛半径的求法。
  4.了解解析函数的零点并掌握其判别方法。
  5.熟练掌握将函数在一点展成幂级数的方法。

                                       
  六、解析函数的罗朗级数表示(8学时)
  (一)教学内容
  1.双边幂级数:双边幂级数概念,双边幂级数的收敛域及其和函数的解析性。
  2.解析函数的罗朗级数:罗朗定理,函数展成罗朗级数的例子。
  3.解析函数在孤立奇点的去心领域内的性质:奇点,孤立奇点及其分类,函数在孤立奇点的去心领域内的性质,孤立奇点分类的例子。
  4.解析函数在无穷远点的去心领域内的性质:函数在无穷远点的罗朗级数,孤立奇点 () 的分类。
  重点:1.将函数展成罗朗级数的方法。 2.识别孤立奇点类别的方法。 3.解析函数在其孤立奇点的去心邻域内的性质。
  难点:1. 孤立奇点类别的识别。 2. 将   在其孤立奇点展成罗朗级数。
  (二)教学基本要求
  1.了解双边幂级数的有关概念。
  2.理解孤立奇点的概念,掌握判别孤立奇点类别的方法。
  3.了解罗朗定理,熟练掌握将函数在孤立奇点(无穷远点除外)展成罗朗级数的方法。
  4.了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质。

                                         
  七、残数及其应用(12学时)
  (一)教学内容
  1.残数概念与计算:残数定义及计算,关于无穷远点的残数。
  2.残数基本定理。
  3.残数在计算某些实积分上的应用:积分   的计算,积分  的计算,积分   的计算。
  4.残数在判定函数的零点数目上的应用:对数残数,辐角原理,儒歇定理及其应用。
  重点:1.计算残数的方法。 2. 残数基本定理。
  难点:函数在无穷远点处残数的计算。
  (二)教学基本要求
  1.理解残数的定义。
  2.熟练掌握计算残数的方法。
  3.理解残数基本定理,会用残数理论计算积分。

                                       
  八、保形映射(14学时)

  (一)教学内容
  1.解析函数的映射性质:保域性,保角性,保形性。
  2.几个初等函数的映射性质:   (n:大于1的自然数),   (n:大于1的自然数),   。
  3.分式线性变换: 。
  4.保形映射的基本问题举例:黎曼定理,几个例子。
  重点:分式线性变换。
  难点:已知区域   与   ,求将映射为的保形映射   。
  (二)教学基本要求
  1.理解解析函数的映射性质。
  2.了解幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的映射性质。
  3.理解分式线性变换的映射性质。
  4.会求将区域 映射为 的保形映射 。
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 楼主| 发表于 2011-3-4 01:20:50 | 显示全部楼层

RE: 复变函数(中央广播电大) 教师简介

主编与主讲 肖荫庵 东北师范大学教授,1960年毕业于东北师范大学数学系并留系任教。1988年晋升为教授。讲授过的课程有复变函数论、数学分析、弹性力学、高等数学、Padé逼近等课程。
  在教材建设与教育理论研究上获得了与教学方法及教材改革配套的系列成果。公开出版《复变函数论》等五部著作。公开发表《培养能力刍议》等七篇教育理论研究论文。在Padé逼近与四元数理论研究方面公开发表《[m/1]级Padé逼近作图的一般方法》等五篇论文。
  主持教师  陈卫宏 中央电大副教授,从事中央电大教学工作23年。主持、讲授过复变函数、实变函数、高等数学、工程数学、经济数学基础、概率论与数理统计、线性代数等课程。
  主持过开放教育各专业数学课程的电视直播课堂。主讲过《工程数学》、《计算机数学基础A》《高等数学基础》IP课和《高等数学》、《计算机数学基础(A)》电视复习课。 参加过八四级、九三级、00级理工科高等数学课程文字教材和音像教材的编写和制作。参加过九八级财经科经济数学基础课程文字教材和音像教材的编写和制作。 主持制作了《高等数学》CAI学习课件,参与制作了《跟我学经济数学》CAI课件。
  参与编写的教材《复变函数》、《实变函数》、《高等数学》、《经济数学基础》、《大学数学》、《软件数学基础》和《高等数学学习指导书》、《工程数学学习指导书》、《跟我学经济数学》。
  联系电话:010-66490522
  E-mail: [email protected]
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 楼主| 发表于 2011-3-4 01:21:49 | 显示全部楼层

RE: 复变函数(中央广播电大) 考核说明

中央广播电视大学专升本开放教育数学与应用数学专业
复变函数课程考核说明
  I. 相关说明与实施要求
  本课程的考核对象是中央广播电视大学专升本开放教育数学与应用数学专业的学生。
  本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。考核成绩由平时作业成绩和期末考试成绩两部分组成,考核成绩满分为100分,60分为及格。其中平时作业成绩占考核成绩的30%,期末考试成绩占考核成绩的70%。平时作业的内容及成绩的评定按《广播电视大学复变函数课程教学设计方案》的规定执行。
  复变函数课程考核说明是根据《广播电视大学“复变函数”课程教学大纲》制定的,参考教材是《复变函数》(肖荫庵主编,中央广播电视大学出版社出版)。考核说明中的考核知识点与考核要求不得超出或超过课程教学大纲与参考教材的范围与要求。本考核说明是复变函数课程期末考试命题的依据。
  复变函数是广播电视大学专升本开放教育数学与应用数学专业学生的一门重要的必修基础课,其全国统一的结业考试(期末考试)是一种目标参照性考试,考试合格者应达到普通高等学校数学与应用数学专业的专升本水平。因此,考试应具有较高的信度、效度和一定的区分度。试题应符合课程教学大纲的要求,体现广播电视大学培养应用型人才的特点。考试旨在测试有关复变函数的基础知识,必要的基础理论、基本的运算能力,以及运用所学基础知识和方法,分析和解决问题的能力。
  期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题,注意考核知识点的覆盖面,在此基础上突出重点。
  考核要求分为三个不同层次:有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次;有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次。三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为:2:3:5。
  试题按其难度分为容易题、中等题和较难题,其分值在期末试卷中的比例为:4:4:2。
  试题类型分为单项选择题、填空题、计算题和证明题。单项选择题的形式为四选一,即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案;填空题只要求直接填写结果,不必写出计算过程和推理过程;计算题或证明题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。四种题型分数的百分比为:单项选择题20%,填空题20%,计算题45%,证明题15%。
  期末考试采用半开卷笔试形式,卷面满分为100分,考试时间为90分钟。
  
II. 考核内容和考核要求
  考核内容包括复数与复变函数、解析函数、初等函数、解析函数的积分理论、解析函数的幂级数表示、解析函数的罗朗级数表示、残数及其应用、保形映射等方面的知识。
  (一)复数与复变函数
  考核知识点:
  复数的定义
  复数的四则运算
  复数的代数式
  复数的模与辐角
  共轭复数
  复平面
  复数的向量式
  复数的三角式与指数式
  复数的乘幂与n次方根
  邻域、曲线、区域
  复变函数(单值函数,多值函数,单叶函数,反函数,无界函数)
  复变函数的极限
  复变函数的连续性(与其实部和虚部连续性的关系)
  考核要求:
  ⑴了解复数定义及其几何意义;
  ⑵熟练掌握复数的运算;
  ⑶知道无穷远点邻域;
  ⑷了解单连通区域与复连通区域;
  ⑸理解复变函数;
  ⑹理解复变函数的极限与连续。
  (二)解析函数
  考核知识点:
  复变函数的导数
  函数在一点解析的定义
  解析点
  解析域
  解析函数的运算
  柯西——黎曼条件
  函数解析的充分必要条件
  考核要求:
  ⑴理解解析函数的定义,性质及其充分必要条件;
  ⑵了解函数在一点解析与函数在一点可导的区别;
  ⑶熟练掌握利用柯西——黎曼条件判别解析函数的方法;
  ⑷熟练掌握“已知解析函数的实部(或虚部),求该解析函数”的方法。
  (三)初等函数
  考核知识点:
  幂函数
  根式函数(支,主值支,支点)
  指数函数及其主要性质
  对数函数(支,主值支,支点)
  三角函数
  考核要求:
  ⑴理解 的定义及其主要性质;
  ⑵知道支点概念。
  (四)解析函数的积分理论
  考核知识点:
  积分的定义和性质
  积分的计算
  积分基本定理(柯西积分定理)
  积分基本公式
  高阶导数公式
  刘维尔定理
  最大模原理
  牛顿—莱不尼兹公式
  莫瑞拉定理
  考核要求:
  ⑴理解积分基本定理、积分基本公式、高阶导数公式;
  ⑵了解刘维尔定理、最大模原理,知道证明它们的方法;
  ⑶掌握利用积分基本定理和莫瑞拉定理判别解析函数的方法;
  ⑷熟练掌握利用积分基本定理、积分基本公式和高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分。
  (五)解析函数的幂级数表示
  考核知识点:
  和函数的连续性,逐项积分,逐项微分
  幂级数的概念
  收敛圆,收敛半径
  和函数的解析性。
  泰勒定理
  解析函数表成幂级数
  解析函数零点的孤立性
  解析函数的唯一性
  考核要求:
  ⑴了解复级数的基本概念;
  ⑵理解解析函数的幂级数表示;
  ⑶理解收敛圆及收敛半径的概念;
  ⑷熟练掌握收敛圆及收敛半径的求法;
  ⑸了解解析函数的零点并掌握其判别方法;
  ⑹熟练掌握将函数在一点展成幂级数的方法。
  (六)解析函数的罗朗级数表示
  考核知识点:
  双边幂级数概念
  双边幂级数的收敛域
  双边幂级数的和函数的解析性
  罗朗定理
  函数展成罗朗级数
  奇点,孤立奇点及其分类
   函数在孤立奇点的去心邻域内的性质
  考核要求:
  ⑴了解双边幂级数的有关概念;
  ⑵理解孤立奇点的概念,掌握判别孤立奇点类别的方法;
  ⑶了解罗朗定理,熟练掌握将函数在孤立奇点(无穷远点除外)展成罗朗级数的方法;
  ⑷了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质。
  (七)残数及其应用
  考核知识点:
  残数定义及计算
  无穷远点的残数
  残数基本定理
  积分 的计算
  积分 的计算
  积分 的计算
  考核要求:
  ⑴理解残数的定义;
  ⑵熟练掌握计算残数的方法;
  ⑶理解残数基本定理,会用残数理论计算积分。
  (八)保形映射
  考核知识点:
  映射的保域性,保角性,保形性
   的映射性质
   的映射性质
   的映射性质
   的映射性质(n:大于1的自然数)
   的映射性质
  分式线性变换:
   考核要求:
  ⑴理解解析函数的映射性质;
  ⑵了解幂函数、根式函数、指数函数、对数函数的映射性质;
  ⑶理解分式线性变换的映射性质;
  ⑷会求将区域 映射为 的保形映射

  
III. 试题类型及规范解答举例
   一、单项选择题
   ⒈ 内有( )。
   (A) 8个零点       (B) 5个零点
   (C) 4个零点       (D) 3个零点
   (B)正确,将B填入题中括号内。(容易题)

   ⒉将 映射为 的映射是( ).
   (A)        (B)
   (C)       (D)
   (B)正确,将B填入题中括号内。(容易题)

   二、填空题
   ⒈若 在点a ,则称点a为 的奇点.
   在横线上填写答案“不解析”。(容易题)
   ⒉若函数 在区域 内解析,则它在导数 的点处是保角的.
   在横线上填写答案“不等于零”。(容易题)

   三、解答题
   ⒈设z为任意复数,试举例说明: 既不小于1也不等于1.
   解:若取 z = i ,则
   (容易题)

   ⒉计算积分
   解:
      
   (中等题)

   四、证明题
   试证:若 在复平面上解析,且有界,则 必为常数.
   证:因 在复平面上有界,所以,定存在 M > 0 ,使得对复平面上的任意点均有
   设 为复平面上的任意一点,作 ,于是有
            
   由柯西不等式得
          
   即对任意小的正数 ,故 ,从而有
   由 在复平面上的任意性得
           复平面
   故 为常数。(较难题)

  
IV. 样卷
   一、单项选择题(本题共20分,每小题4分)
   1.若,则( ).
   (A)         (B)
   (C) ?         (D)
   2.( ).
   (A)             (B)
   (C)             (D)
   3.内有( ).
   (A) 8个零点         (B) 5个零点
   (C) 4个零点         (D) 3个零点
   4.将映射为的映射是( ).
   (A)           (B)
   (C) ;       (D)
   5.若,则在有限点中( )是其支点.
   (A)             (B)
   (C)             (D)
   二、填空题(本题共20分,每小题4分)
   1.若在点,则称点的奇点.
   2.若,则
   3.若,则
   4.设点为函数的孤立奇点,若在点的主要部分,则称点的本性奇点.
   5.若函数在区域内解析,则它在导数的点处是保角的.
   三、计算题(本题共45分, 每小题15分)
   1.设,试求解析函数,使得,且
   2.试将在点展成幂级数.
   3.计算积分
   四、证明题(本题15分)
   设,试证点的二级零点.
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