实变函数(华中师范大学)

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课程导学

　　 开设本课程的主要目的：
　　 （1）掌握复变函数的基本理论和性质，分析、比较复变函数与已在《高等数学》中学过的实变函数的区别和联系，切实掌握解析函数的基本性质，熟练使用留数定理，能够利用复变函数计算一些实函数的定积分和实函数级数的求和；
　　 （2）了解复变函数项级数的敛散性质，掌握解析函数的两种级数展开——泰勒展开和罗朗展开；
　　 （3）在定解问题中，学会将物理语言和数学语言互相进行 “互译”，熟练掌握一些数学物理方程定解问题的典型求解方法，了解斯——刘型本征值问题的基本性质，掌握一些特殊函数的基本性质；
　　 （3）掌握两种常用的积分变换—傅里叶变换和拉普拉斯变换，并能够利用这两种变换求解定解问题及解决信号分析问题。
　　 （4）了解狄拉克δ函数的来源、数学表示、性质。
　　 总之，本课程为后续课程（电动力学、量子力学等）的先行课，是下一步学习的数学基础。

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课程简介

　　 本课程是物理学、电信与通信科学等领域的重要工具课程，它主要包括复变函数和数学物理方程两大部分。在第一部分中，主要内容为解析函数（特殊的复变函数）的性质及其应用。在第二部分中，主要介绍三类典型数学物理方程（波动方程、输运方程和稳定场方程）的推导以及求解方法，另外还包括几类特殊函数（勒让德多项式、关联勒让德函数、贝塞尔函数等）和狄拉克δ函数。

　　本课程的重点：
　　 1.解析函数的性质及其在物理中的应用、解析函数的幂级数展开；
　　 2.三类典型数理方程的求解、物理语言与数学语言的“互译”；
　　 3.施图姆—刘维尔本征值问题的理解；
　　 4.傅里叶变换与拉普拉斯变换及其在典型物理学和工程技术中的应用。

　　本课程的难点：
　　 1.留数定理的应用中，利用留数定理计算实变函数时闭合回路的选取和增加路径积分的计算；
　　 2.多值函数：多值函数产生的原因、多值函数单值分支的确定、多值函数在其单值分支上函数值的计算、多值函数的积分；
　　 3.特殊函数的来源、数学形式、性质；
　　 4.利用积分变换法求解数理方程过程中的“反演”问题，即由像函数通过逆变换求得原函数的问题。

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课程特色

　　 本课程的主要特点：
　　 （1）本课程与先行课程《高等数学》有着紧密的联系，主要体现在以下几个方面：
　　 (a)复变函数的极限、连续、导数、积分、级数是的极限、连续、导数、积分、级数在复数域的推广；
　　 (b)解析函数的导数、解析函数积分的性质与二元实变函数密切相关；
　　 (c)利用分离变量法与积分变换法求解典型数学物理方程（偏微分方程）中涉及到《高等数学》中常微分方程的求解；
　　 (d)一些实变积分要借助于复变函数中的留数定理来计算；
　　 (e)傅里叶积分变换的来源涉及到《高等数学》中的傅里叶级数。

　　（2）本课程不仅要用到《高等数学》知识，而且还要用到普通物理，不是单纯的数学课，也不是单纯的物理课，它将数学与物理兼顾起来，其最后“服务”的对象是电动力学、量子力学等课程。由于本课程内容的综合性，使得本课程具有数学的系统性与严密的逻辑推理，同时又将物理中模型化方法、数学表达式物理意义的阐释及实验验证包含进来。

　　（3）本课程具有很强的应用性。利用留数定理计算的实变积分与级数和在光学、量子力学等方面有着广泛的应用；信号处理中的频谱分析就是利用傅里叶变换、拉普拉斯变换。