高等数学(下)教学大纲

　　一、基本要求
　　通过学习本课程要求学生掌握以下基本概念和方法：
　　1．一元函数微分学　　
　　正确理解函数，极限，连续，导数，微分等基本概念，牢固掌握和熟练运用极限定义，微分中值定理（Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor定理），初等函数的导数公式和求导法则。会用导数研究函数的性质（增减性，极值，凹凸性，拐点，曲线的渐近线，曲率）。会证明不等式,会求方程的根。
　　2．一元函数积分学　　
　　正确理解原函数，不定积分，定积分等基本概念，牢固掌握微积分基本定理和基本积分公式（Newton-Leibniz公式）。熟练运用换元积分法，分部积分法计算积分。了解定积分的近似数值计算，会用定积分法解决一些物理、几何、经济、生物等方面的实际问题。
　　3．向量代数和空间解析几何　　
　　正确理解向量，向量的投影，向量的坐标等基本概念，掌握向量的运算，学会建立平面、空间直线、曲线和二次曲面等在直角坐标系下的方程。　
　　4．多元函数微分学　　
　　正确理解偏导数，全微分，方向导数，梯度等基本概念，牢固掌握多元函数微分法则，学会求多元函数极值及条件极值的方法, 学会建立空间曲线的切线和法平面方程、空间曲面的切平面和法线方程的方法，学会最小二乘法。
　　5．多元函数积分学　　
　　正确理解二重积分，三重积分，对弧长的曲线积分，对坐标的曲线积分，对曲面面积的曲面积分，对坐标的曲面积分等基本概念。会熟练采用各种不同的坐标系计算各种类型的积分。牢固掌握Green公式及积分与路径无关的条件，掌握Gauss公式，掌握Stokes公式，掌握场论的基本理论和方法，会求向量场的梯度、散度与旋度，会用积分解决一些几何、物理等方面的计算问题（体积、曲面面积、弧长、物体重心、质量、转动惯量、引力、功等）。
　　6．无穷级数　　
　　正确理解常数项无穷级数的敛散性的概念，牢固掌握正项级数敛散性的比较判别法，比值判别法，根式判别方法，交错级数敛散性的Leibniz判别方法；理解绝对收敛、条件收敛概念，了解函数项级数收敛及其一致收敛的有关概念，理解幂级数收敛性的Abel 收敛定理，会求幂级数的收敛域及和函数，会把简单基本初等函数展成幂级数；理解Fourier 级数收敛性的Dirichlet 定理，会把[－ π，π]上，[-L , L]上的函数展成Fourier 级数，会把[0 ,π]上，[0 , L]上函数展成正弦级数或余弦级数。
　　7．微分方程　　
　　正确理解微分方程及其特解、通解、初始条件等基本概念，掌握用初等积分法解一阶微分方程，可降阶二阶微分方程的解法。掌握二阶常系数线性微分方程的解法，会用幂级数求常微分方程的近似解。并且会用微分方程解决一些几何、物理、生物、经济等方面的实际问题。
　　二、教学内容与学时分配建议
　　１．函数　极限　连续
　　理解函数,复合函数的概念, 了解反函数的概念。了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性等性质，掌握六大类基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念，理解数列极限的定义，函数极限的定义。掌握极限的四则运算法则及极限的性质。了解极限存在的两个准则（夹逼准则和单调有界准则）。掌握两个重要极限及其应用于求极限的方法。理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念，掌握等价无穷小代换求极限的方法。理解函数在一点连续的概念、间断点的概念及其分类。了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（有界性、介值性、最大值、最小值定理）。
　　２．一元函数微分学
　　理解导数和微分这两个重要概念，理解导数的几何意义，物理意义及函数的可导性与连续性之间的关系。了解导数应用实例。掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式和微分公式，了解微分的运算法则和一阶微分形式的不变性。了解高阶导数的概念，掌握初等函数的高阶导数的求法。掌握隐函数、参数式函数的一阶、二阶导数求法。会求反函数的导数。理解微分中值定理（Rolle中值定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理），并会用于论证一些简单问题。了解Taylor中值定理及其应用。理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性、凹凸性和求极值、拐点的方法。会证明一些简单的不等式，会求水平、垂直及斜渐近线，会描绘函数的图形，会求解最值应用问题。会用L`Hospital 法则求不定式极限。了解曲率和曲率半径概念并会计算曲率。了解微分在近似计算中的应用和求方程近似解的方法。
　　３．一元函数积分学
　　理解原函数，不定积分和定积分的概念的有关性质，掌握不定积分的基本性质，掌握不定积分, 定积分的换元积分法与分部积分法，会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的积分。理解微积分基本定理（积分上限函数求导定理）和微积分基本公式（Newton―Leibniz公式）。了解广义积分的概念（无穷限积分、瑕积分）和计算方法。掌握元素法，会用定积分计算几何（平面图形面积、曲线的弧长、旋转体体积）和物理（变速直线运动路程、变力沿直线作功、液体压力、引力等）方面的实际问题。会求函数的平均值。了解定积分的数值计算方法。
　　４．向量代数与空间解析几何
　　理解空间直角坐标系，理解向量及其有关概念。掌握向量的加减法、数乘向量、数量积、向量积的定义及其运算方法。了解两向量平行、垂直的条件。掌握单位化向量、方向余弦、向量的坐标及计算方法，会用向量坐标进行向量的加减法、数乘、数量积、向量积的运算。理解平面的法向量，直线的方向向量的概念，掌握平面的方程（点法式、一般式、截距式）和直线的方程（点向式、一般式、参数式）及其求法。会利用夹角公式、点到平面的距离公式以及平面、直线的相互关系解决有关问题。理解曲面方程的概念。掌握球面、锥面、柱面、抛物面、椭球面、双曲面、旋转面的方程和图形。了解空间曲线的一般方程及参数方程。了解常用二次曲面的方程及其图形。了解曲面的交线在坐标平面上的投影。
　　５．多元函数微分学
　　理解多元函数的概念，掌握二元函数的几何表示。了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，掌握复合函数的偏导数求法(连锁规则)，会求二阶偏导数。会求隐函数（一个方程或两个方程组成的方程组所确定）的偏导数，了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。理解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数求极值的方法，会用Lagrange乘数法求条件极值。会用多元函数求极值的方法解决实际问题中最大值、最小值问题。掌握多元函数微分法在几何中的应用，会求空间曲线的切线和法平面方程，空间曲面的切平面和法线方程。学会最小二乘法。
　　６．多元函数积分学（专科对三重积分不做要求）
　　理解二重积分的概念，掌握二重积分的性质，理解三重积分的概念，掌握三重积分的性质。掌握在直角坐标系、极坐标系计算二重积分的方法。掌握在直角坐标系、柱面坐标系、球面坐标系计算三重积分的方法。了解重积分的应用（物体重心、质量、转动惯量、引力）。理解对弧长的曲线积分的概念，掌握对弧长的曲线积分的计算方法，了解这种积分的物理应用。理解对坐标的曲线积分的概念，掌握对坐标的曲线积分的计算方法，了解此积分在变力作功问题中的应用。掌握Green公式，会使用曲线积分与路经无关的条件解决一些问题。
　　７．无穷级数
　　理解常数项无穷级数收敛、发散及和的概念，掌握无穷级数的基本性质以及收敛的必要条件。掌握几何级数和Ｐ级数的收敛性，掌握正项级数的比较审敛法，比值审敛法，了解根值审敛法．掌握交错级数的Leibniz审敛法。理解绝对收敛、条件收敛概念及其关系。了解函数项级数收敛及其一致收敛的有关概念，掌握幂级数的收敛区间及收敛半径的求法。了解幂级数在收敛区间上的一些性质，会求一些幂级数的和函数。了解函数展开为Taylor级数的充分必要条件，掌握幂函数，正余弦函数，简单对数函数的Maclaurin公式以及用这些公式间接展开函数为幂级数的方法。
　　８．微分方程
　　理解微分方程、解、通解、特解和初始条件等概念。掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。会利用变量代换的方法解齐次方程、Bernoulli方程，会利用全微分求积的方法求解全微分方程。会用降阶法解下列类型的方程：ｙ＂＝ｆ（ｘ）， ｙ＂＝ｆ（ｘ，ｙ＇），ｙ＂＝ｆ（ｙ，ｙ＇）。理解二阶线性微分方程解的结构，掌握二阶线性常系数齐次微分方程的解法，了解高阶线性常系数齐次微分方程的解法。掌握常用自由项的二阶线性常系数非齐次微分方程的解法。　　
　
　　课程的学时分配建议：

　　说明：课堂内外学时比为1：2.5习题课是完成高等数学教学要求的一个重要教学环节，课堂内习题课学时不应少于总学时的1／5。
　　三、教材及主要参考资料
　　1．《高等数学》上、下册，亓健、谭尚旺、同小军主编，石油大学出版社，2001年。
　　2．《高等数学》上、下册， 同济大学数学系主编，高等教育出版社，1996年12月第四版，2002年7月第五版，国家级优秀教材。
　　3. 《高等数学学习辅导》，马铭福，亓建，费祥历主编，石油大学出版社，2001年9月。