近世代数

你想知道如何破解魔方、滑动拼图等游戏的秘密吗?你想知道足球到底有多对称吗?你想了解支票防伪和网络数据安全传输背后的代数学知识吗?你想了解费马大定理的前世今生吗?你想了解古希腊三大作图难题是如何解答的吗?…… 请走进《近世代数》,这里你可以尽情地享受当代代数学盛宴,寻找到所有这些问题的完美解答。与此同时,你还可以认识高斯、伽罗华、阿贝尔等诸多数学奇才,重走他们在数学王国的探险之旅!相信通过学习“置换群”、“环的理想”、“超越元”等经典而优美的代数学知识,或许你可以置换人生、超越梦想,为实现自己的理想而展翅高飞!

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近世代数课程简介:

你想知道如何破解魔方、滑动拼图等游戏的秘密吗?你想知道足球到底有多对称吗?你想了解支票防伪和网络数据安全传输背后的代数学知识吗?你想了解费马大定理的前世今生吗?你想了解古希腊三大作图难题是如何解答的吗?…… 请走进《近世代数》,这里你可以尽情地享受当代代数学盛宴,寻找到所有这些问题的完美解答。与此同时,你还可以认识高斯、伽罗华、阿贝尔等诸多数学奇才,重走他们在数学王国的探险之旅!相信通过学习“置换群”、“环的理想”、“超越元”等经典而优美的代数学知识,或许你可以置换人生、超越梦想,为实现自己的理想而展翅高飞!

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近世代数课程目录:

第0章 整数与等价关系

--第1节 整数性质(1)-因子、素数、倍数

--第2节 整数性质(2)-最大公因子、互素、最小公倍数

--第3节 模运算与复数

--第4节 归纳法

--第5节 等价关系

--第6节 映射

第1章 群论引言

--第1节 正方形的对称

--第2节 二面体群

第2章 群

--第1节 群的定义及例子

--第2节 群的基本性质

第3章 有限群,子群

--第1节 有关子群的术语、符号

--第2节 子群判定

--第3节 几类重要子群

第4章 循环群

--第1节 循环群的性质

--第2节 循环群的子群

第5章 置换群

--第1节 有关置换的概念与记号

--第2节 置换的圈表示

--第3节 置换的性质(1)-不交圈乘积的阶

--第4节 置换的性质(2)-置换的奇偶性

第6章 群同构

--第1节 同构的定义与例子、凯莱定理

--第2节 同构性质

--第3节 自同构

第7章 陪集与拉格朗日定理

--第1节 陪集性质

--第2节 拉格朗日定理

--第3节 拉格朗日定理的应用

--第4节 陪集在置换群中的应用

--第5节 多面体旋转群

第8章 外直积

--第1节 外直积的定义和例子

--第2节 外直积的性质

--第3节 U(n)的同构外直积

第9章 正规子群和商群

--第1节 正规子群

--第2节 商群

--第3节 商群的应用

--第4节 内直积

第10章 群同态

--第1节 群同态的定义和例子

--第2节 同态性质

--第3节 第一同构定理

第11章 有限交换群基本定理

--第1节 有限交换群基本定理、交换群同构类

--第2节 基本定理的证明(1)

--第3节 基本定理的证明(2)

第12章 环论初步

--第1节 环的定义与环的例子

--第2节 环的性质

--第3节 子环

第13章 整环

--第1节 整环的定义与例子

--第2节 域

--第3节 环的特征

第14章 理想和商环

--第1节 理想

--第2节 商环

--第3节 素理想与极大理想的定义与例子

--第4节 素理想与极大理想的判定

第15章 环同态

--第1节 环同态的定义与例子

--第2节 环同态的基本性质

--第3节 整数环到有单位元环的同态

--第4节 商域

第16章 多项式环

--第1节 多项式环的定义

--第2节 带余除法

--第3节 带余除法的相关结论

第17章 多项式的因式分解

--第1节 可约多项式判定(1)

--第2节 可约多项式判定(2)

--第3节 不可约多项式判定

--第4节 不可约多项式与域的构造

--第5节 Z[x]的唯一分解性

第18章 整环的可分性

--第1节 不可约元与素元(1)

--第2节 不可约元与素元(2)

--第3节 唯一分解整环(1)

--第4节 唯一分解整环(2)

--第5节 欧氏环

第19章 向量空间

--第1节 向量空间

第20章 扩域

--第1节 域论基本定理

--第2节 分裂域-存在性

--第3节 分裂域-唯一性(1)

--第4节 分裂域-唯一性(2)

--第5节 不可约多项式的根(1)-重根判定

--第6节 不可约多项式的根(2)-有重根不可约多项式刻画

--第7节 不可约多项式的根(3)-有重根不可约多项式的根的重数

第21章 代数扩域

--第1节 扩域的刻画

--第2节 有限扩域(1)

--第3节 有限扩域(2)

--第4节 代数扩域的性质

第22章 有限域

--第1节 有限域分类

--第2节 有限域结构

--第3节 有限域子域

第23章 几何作图

--第1节 几何作图简史、规矩数

--第2节 古希腊三大难题的解答

期末考试

近世代数授课教师:

周进鑫-教授-北京交通大学-理学院

教授、博士生导师。主要从事群与图方面的研究,目前已在J. Combin. Theory B (A)、Combinatorica、J. Graph Theory等图论、组合及计算机领域的主流SCI检索期刊上发表论文60余篇。主持完成国家自然科学基金项目3项,在研1项。本人自2008年入职以来,主要从事代数方面的教学工作,主讲的课程包括数学专业的《高等代数》、《近世代数》及其它工科专业的《几何与代数》等课程。特别是,2016-2017年度、2017-2018年度、2018-2019年度、2019-2020年度,本人负责主讲了知行班双语课程《近世代数》,取得了良好的教学效果。本人还指导多名本科生毕业设计,指导一项国家级大创项目,发表教改论文一篇。

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