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初等数论(华中师范大学)

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 楼主| 发表于 2011-3-4 01:34:12 | 显示全部楼层 |阅读模式
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 楼主| 发表于 2011-3-4 01:34:17 | 显示全部楼层
           这是把数学类各专业最基础的三门课程中的两门“高等代数”,“解析几何”合并开设的课程。高等代数、解析几何都是历史悠久的数学分支,也是现代的、发展方向众多的、数学领域。由于线性结构和带度量的线性结构是最基本的数学结构,线性代数、解析几何成为大学各专业教育的最基础的数学课程;它们不仅有很多直接的后续课程同时也是各数学课程必备基础。

           从师范教育的角度看,中学数学教育肩负培养学生思维反映速度、逻辑思维能力、空间想象能力的重任;而师范教育中“高等代数”和“解析几何”是锤炼提升未来中学教师的逻辑思维能力和空间想象能力的课程平台,这是我们课程建设的基本思想之一。其二,高等代数与解析几何悠久的历史和重要的地位使得它们对师范学生极具亲合力,它们是以中学的几何与代数知识作为初始平台,然后在思想上和技术上都上升到一个全新的平台。其三,不仅解析几何(它的一部分早已成为中学数学课程),而且代数学的近代面貌也是现代中学数学教师应该了解和具备的知识素养,它们既是数学研究的基本工具也是数学研究的两个基本方向。

          “解析几何”、“高等代数”课程的内涵相对而言比较成熟,课程框架上世纪初基本成形;线性代数的2维、3维模型就是经典的解析几何。但是课程的外延及表达形式却是不断推陈出新的。

           本课程改革整合的背景追索到90年代后期本课程负责人代表武大参加教指委会议,当时的教指委讨论专业调整讨论课程设置时,谈到高等代数(线性代数)与解析几何合并开设问题,会上的共识是合并开设具有合理性,但主要疑虑是两张皮的问题。从那以后本课程负责人在武大就做了这个课程设置改革的项目,到01-04年以教育部基地班名牌课程项目为依托,正式把这两门课合并开设,积累了经验和课程材料。

           课程负责人到华中师大后,从05年开始正式开设整合课程“高等代数与解析几何”。该课程06年建设为湖北省精品课程。现在,这门课已渡过了磨合期,日臻成熟;成熟的标志是代数组的中青年老师都已熟练掌握了这个课程体系,体会到代数与几何思想上确实交叉融合,课程材料也协调安排相得益彰。该课程现已成为华中师大数学专业新培养方案中的亮点之一。课程配套的教材《高等代数与解析几何教程》立项为十一五规划教材(老教材是“线性代数与几何引论”),已校对完成校样,即将由科学出版社出版。

    课程“高等代数与解析几何”,要点如下。

——        实现解析几何和高等代数的思想融合:以空间向量为主要载体构建解析几何的线性部分;从几何向量引导到数组向量,再引导到抽象向量的空间观念;在抽象向量空间强调笛卡儿的“形”与“数”的相互转换思想;从一般二次型理论走到解析几何的二次曲面的各种几何分类。

—— 从相对具体的引例和模型建立概念框架, 按照提出基本问题、解决基本问题、应用基本理论的思路展开课程内容。

—— 突出主要思想和技术,训练基本技能和具体操作技巧,使得课程结构精练,内容简洁而丰富。

—— 合理安排教学内容和教学环节,增强规范性和可操作性。
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 楼主| 发表于 2011-3-4 01:34:33 | 显示全部楼层
1、课程在本专业的定位和目标

           高等代数,解析几何是一般高等院校数学各专业的的最基础的三门数学课程中的两门,也是大部分后续课程的必需的预备知识,在专业培养目标中处于最基础的位置。

           师范院校数学各专业肩负培养高素质中等教育或高等教育数学师资的重任。本校是教育部直属师范院校之一,是教师教育特色鲜明的具有示范作用的教学科研型大学;本校生源丰富生源整体水平处于中偏上层次。针对这种层次生源的课程设置和教学可以为一般师范院校提供较好的具有操作性的示范作用。

           中学数学教育的基本作用是培养学生思维反映速度、逻辑思维能力、空间想象能力,这是人类思维各种素质中的三种。师范教育中“高等代数”和“解析几何”正好是提升未来数学教师的逻辑思维能力和空间想象能力的课程平台,而且师范教育中的高等代数与解析几何天然地与中等数学教育内容息息相关,因而它们自然地成为数学师范教育的基础课程。这些在4-1栏目中也有论述。

           本课程的特色在于:“高等代数”与“解析几何”本来就是思想交融的具有共同渊源的课程,因而把它们整合为一门课程开设。现在这个课程在本校的教学实践中已经成熟,标志是师资队伍已经成熟(青年教师已熟练掌握课程体系)。

           这个课程已成为我校数学各专业的培养方案的亮点之一,它是培养方案中最基础两门课程之一。通过对本课程的学习和训练,学生能够获得严格的逻辑训练和抽象思维训练,培养演绎推理能力和空间想象能力,建立解析几何思想与线性代数思想,从而建立它们的相互联系,理解它们之间的相互作用、相互转化,掌握相应的知识和技能。课程使学生既掌握了必备的基本理论又提升了基本素质,也奠定了后续课程的必要基础;向上与近现代数学接轨,向下与中等数学教学改革联系。

           目前课程进一步建设目标是:锤炼易读易教、内容精炼的教材与各种(包括电子网络)辅导材料,实践灵活务实的教学方式方法,培养具有高水平教学科研能力的教师队伍;使高等代数与解析几何成为一般师范院校数学各专业的一门具有示范作用的精品课程。



2、 知识模块顺序及对应的学时

共六个模块:高等代数四个,解析几何两个。

三学期课程:分别为周6、周6、周4,共272学时。

第一学期(周6,共102学时):

解析几何模块I:线性部分
空间向量,20学时
直线和平面,18学时
高等代数模块I:线性部分
行列式,18学时
矩阵与向量(含线性方程组),46学时

第二学期(周6,共102学时):

高等代数模块II:多项式、矩阵的特征系与对角化问题
多项式,14学时
特征值和相似对角化,18学时

高等代数模块III:二次部分
二次型,24学时

解析几何模块II:二次部分
曲线与曲面简介,10学时
二次曲面分类,26学时
射影几何初步,10学时

第三学期(周4,共68学时):

高等代数模块IV:加深部分
一般向量空间,30学时
欧式空间、酉空间,22学时
矩阵相似标准型,16学时
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 楼主| 发表于 2011-3-4 01:34:50 | 显示全部楼层
教学硬件:

学校和数学与统计学学院有充足的教室、自习室、讨论室、实验室供学生学习、讨论、使用信息资源;每一间教室都有多媒体教学设备可供教师使用现代化的教学手段来提高教学质量和改进教学效果。学校和院系有丰富的网络通信设备和网络信息资源可供教师和学生查阅最新的研究文献和资料。

教材建设:

a) 樊恽、刘宏伟,《高等代数与解析几何教程》,(上、下册),科学出版社,2009。

b) 樊恽、刘宏伟,《抽象代数》,科学出版社,2008。

c) 樊恽、郑延履,《线性代数与几何引论》,科学出版社,2004。

d) 朱德高,刘宏伟,《抽象代数》(成人专升本教材),湖北教育出版社,2004。

e) 樊恽、郑延履、刘合国,线性代数解题指导,科学出版社,2003。

f) 樊恽、刘宏伟,《群与组合编码》,武汉大学出版社,2002。

g) 李桃生、朱德高、费泰生,《高等代数》,华中师范大学出版社,2002。

h) Yun Fan, Q. Y. Xiong, Y. L. Zheng, “A Course in Algebra”, World        Scientific, Singapore, 2000. (樊恽、熊全淹、郑延履, “代数教程”(英文),世界科技出版社出版,新加坡,2000。)

i) 华中师范大学数学系《抽象代数》编写组编,抽象代数,华中师范大学出版社,2000。

j) 樊 恽 等,代数学辞典,华中师范大学出版社,1994。

k) 李桃生,范畴与同调代数基础,华中师范大学出版社,1988。


资料室建设:

本院资料室有一些代数与几何的丰富资料可供教师和学生查阅,有高等教育出版社、科学出版社的系列教材、还有很多种类的国外优秀教材供教师和学生参考。有先进的网络资源,计算机已经联网,学校图书馆购买了大量的国外电子资源,师生可以获取丰富的信息资源。

实验室建设:

学院建有352平米数学实验室,203台仪器设备,可供数学专业的教师和学生使用。

网络建设:

本院每一间教师办公室和资料室、学生实验室有已经连接上网络的计算机,可以方便的查阅国内外相关的研究文献和资料,便于学生们了解国内外关于本专业的相关信息,更便于老师们掌握当前国内外关于本专业的最新的相关信息;在学院网站还有专门的代数课堂网页,是各门代数课程课堂教学活动的网络延伸。这些有利条件使得我们的课程建设能在高起点上建设成为在国内外有一定影响的国家精品课程。
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 楼主| 发表于 2011-3-4 01:35:05 | 显示全部楼层
现用教材
  樊恽,郑延履编,“线性代数与几何引论”,科学出版社,21世纪 高等
院校教材,2004年8月第一版,北京。
   本书以严谨的思路、灵活的方式讲述了高等院校线性代数与解析几何课程的内容, 既突出了线性代数作为各专业公共课程的工具性和操作性, 也反映了线性代数与解析几何、多项式知识的思想性以及它们之间的联系. 本书在节后都配备了一定数量的基本练习题, 在章后备有综合性强一点的习题, 书末附有答案或提示.
   遵循按需选取的原则,本书既可作为大学非数学专业学生的教学用书, 也可作为大学数学各专业学生的教学用书, 对相关专业的老师也具有很好的参考价值.
科学出版社关于本书信息网页
前 言
   线性代数是高等院校最基础的代数课程不论是数学专业还是非数学专业都作为必修必考内容, 但不同专业的线性代数课程教学内容和教学要求有所不同作者经历了多年的不同专业的线性代数课程的教学实践和教学改革,试图把积累的素材综合而又简捷地编写出来,以适应不同专业教学需求,这是编写本教材的初衷。
  线性代数作为各专业的公共课程比较重视它的工具性和操作性,这在多年的考研中有所反映作者的教学实践积累的素材也反映在这里.
   线性代数与解析几何,多项式知识有紧密联系数学专业还应该重视其思想性线性代数研究向量空间及其线性变换、双线性型和二次型本质上说它们具有几何风格,坐标和矩阵是其数量形式. 多项式确定的曲面是解析几何的研究对象,而多项式本身也是线性代数的重要工具. 从这样的思想线索出发,近年来作者把线性代数、解析几何以及多项式基础知识融合为一门课程进行教学. 从作者的实践来看,这个综合课程可以较好地体现和实现几何思想与代数思想的交叉、转换融合.
   为把这些素材综合反映出来适应不同层次的需要, 作者采用近似于模块式的结构,使得模块之间逻辑依赖关系不复杂按从左向右的次序勾画在图1中便于按不同要求做不同选取组合思想关系则通过评注、例题等来表达.
   
    这样就可作为几个层次的教材使用,例如(1学分约占18学时)
    中路的四个方块:行列式矩阵与向量, 特征值和矩阵相似对角化,二次型, 构成非数学专业的一个4学分课程; 包括了考非数学专业研究生的线性代数方面的全部内容和常见技巧.
    对某些要求稍高的非数学专业(如某些理工科专业)则可在上列基础上加上某些章节,如直线和平面, 二次曲面极小多项式(§7.1)等.
   对于综合大学或师范院校的数学系,本书全部内容可作为高等代数与解析几何课程合并开设的14学分课程的教材.
    作为综合大学或师范院校的数学系的合并开设的12学分课程, 则可略去相似标准形和射影几何.
    略去方框图的第一行,就是一个数学专业的线性代数(高等代数)的完整课程,可设为11学分左右. 再略去相似标准形一章可减为10学分左右,本章是相似不变量和约尔当标准形的证明等稍难内容约尔当标准形定理本身及应用例题在特征值和矩阵相似对角化一章已作介绍.
   每章内各节的安排也有灵活性,例如行列式一章的行列式的计算一节完全可以留给学生自己阅读. 每节后配备习题, 按我们的教学实践,学生完成它们后可得到应有的训练. 每章最后还有适量的补充习题(编号都为B, 如第三章补充题标题为“习题3.B”). 这样可适应多层次需求,如作为课后作业,供习题课例题选讲,供考研复习等. 书后附有习题答案和提示.
     最后介绍一下本书的思想构思.
     线性代数可分为三大部分:线性部分、相似标准形、二次部分. 本书每部分按建立概念框架、提出基本问题、解决基本问题、应用的思路展开. 概念和问题都建立在相对具体的引例和模型上. 每部分包含一个应用实例, 分别是里昂捷夫经济模型、列斯里人口模型、极小二乘逼近和广义逆. 解析几何分成两部分, 直线和平面部分放在最前面,它也为建立一般向量空间概念和某些线性代数技巧奠定基础. 这一部分对于公共课的线性代数也有好处. 二次曲面和射影几何则放在二次型之后,利用主轴定理对二次曲面分类. 这蕴含用变换群对几何分类的思想,在附录中有所反映. 由于矩阵(线性变换)的相似不变量由多项式给出, 有关多项式的初等内容一章放在矩阵的相似分类之前.
    在实现这个整体框架时,内容力求精练,处理力求简洁,突出主要思想技巧,尽量避免重复,以达到简捷的目的例如,线性方程组部分不再独占篇幅;而是把它作为引例,导入数组向量空间和矩阵概念;以消去法即矩阵的初等变换为基本思想技巧,导出关于矩阵的秩的基本定理;再作为应用得出关于线性方程组的基本理论和计算技巧;这构成矩阵与向量一章. 这样,在不大的篇幅中既容纳了基本内容,也介绍了思想技巧,包括具体操作技巧.
  作者虽然工作努力,但实践和认识毕竟有限, 而且基础教学改革确实任重道远, 本书不足之处在所难
免, 诚望读者不吝赐教.
教材编写体例说明

1.本书按照知识要点,如重要概念、定理、命题、重要推论、重要公式、重要注解等,采用统一的三级编号方式, 例如:“3.4.10 定理”,表示第三章第4节第10条,它是一个定理;引用时就说“定理3.4.10”. 定义、命题、推论、公式、注解等都按此编排. 有时更简短地说“…… 在6.2.3后 ……”,是指第6章第2节的第3条后. 这样在查找时就不需区分知识要点类别,只按序号搜索,方便快捷一些.
2.本书一些重要例子因其重要性也纳入三级编号,便于其他地方引用. 一般例题则未纳入三级编号,只是按节顺次排序.
3.本书一些重要公式因其重要性也纳入三级编号, 便于后面反复引用. 较长推导环节中中的一些公式只需临时标记,后面也没有再次引用的,没有纳入三级编号.
4. 本书每节都安排了习题(按习题1.1,习题1.2等顺次编号),除第2章外,每章都安排了补充习题(按习题1.B,3.B,4.B等顺次编号). 引用习题时, “习题1 . . .”是说本节习题1;而“习题3.1.1”是说第三章第1节的习题1.

其他教学用书

1.陈志杰,“高等代数与解析几何”,高等教育出版社,2002年8月.
2.孟道骥,“高等代数与解析几何”,科学出版社,1998年8月.
3.樊恽、郑延履、刘合国,“线性代数解题指导”,科学出版社,2003.(参看科学出版社网页)
4. 樊 恽 等,代数学辞典,华中师范大学出版社,1994.
5.李桃生、朱德高、费泰生,“高等代数”,华中师范大学出版社,2002.
6.杨文茂,李全英,“空间解析几何”,武汉大学出版社,1997年.
7.Yun Fan, Q. Y. Xiong, Y. L. Zheng, “A Course in Algebra”, World Scientific, Singapore, 2000. (樊恽、熊全淹、郑延履, “代数教程”(英文),世界科技出版社出版,新加坡,2000.) (参看该出版社网页)
8.朱德高,刘宏伟,“抽象代数”,湖北教育出版社,2005.
9.华中师范大学数学系《抽象代数》编写组编,抽象代数,华中师范大学出版社,2000.
10.樊恽、刘宏伟,“群与组合编码”,武汉大学出版社,2002.
11.李桃生,“范畴与同调代数基础”,华中师范大学出版社,1988.
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 楼主| 发表于 2011-3-4 01:35:36 | 显示全部楼层
大纲编写说明:

    这门课程是把传统的高等代数(就是线性代数加上多项式基础知识)与解析几何融合为一门课程进行教学,是从本课程组近年的教学改革研究和实践来建设的一门课程,可以较好地体现和实现几何思想与代数思想的交叉、转换融合;大纲按思想内容构成模块,各内容模块之间的思想技术的联系在教学内容中适时反映,参看:课程整合思路、现用教材前言。

    本大纲的课时进度安排考虑到师范院校学生具体情况,也考虑到与另一基础课程“数学分析”的教学进度协调。

大纲要点:
课程名称

高等代数与解析几何

编写人

樊恽

课程代码

83410002

编写时间

2005-5-17

周学时数

6+5+4

总学时数

84+85+72

 

 

 

任课教师

樊恽、刘宏伟

开课院系

数学与统

周振荣、周远扬、陈刚

计学学院 

课程性质

A、公共基础课 √B、专业基础课 C、专业必修课D、专业选修课

先修课程



使用教材(按作者、
教材名称、出版社、
出版年月顺序填写)

樊恽,郑延履,线性代数与几何引论,科学出版社,2004年8月。

教学参考资料
(按作者、参考
资料名称、出版者、
出版年月顺序填写;
填写的教学参考
资料应不少于三种)

陈志杰,高等代数与解析几何,高等教育出版社,2002年8月。
孟道骥,高等代数与解析几何,科学出版社,1998年8月。
樊恽,郑延履,刘合国,线性代数学习指导,科学出版社,2003年2月。

●本课程教学的目的(特别应注意从“以生为本”的角度指明本课程教学要达到的目的)

    线性代数,解析几何是高等院校数学系最基础的数学课,也是大部分后续课程的必需的预备知识。“高等代数与解析几何”是把这两门基础课交叉融合、合并开设的课程,从第一学期开始,分三个学期完成。通过本课程学习和训练,建立解析几何思想与线性代数思想,建立它们的相互联系,理解它们之间的相互作用、相互沟通,掌握相应的知识和技能。这既是数学系学生必备的基本理论和基本素质,也是数学类所有后续课程的必要基础。

● 学习方法指导

注意几个观念培养

增强2维3维几何直观观念,抽象出高维线性空间、欧式空间概念;
掌握笛卡儿思想,建立几何形式与代数形式的相互转换思想观念;
融会贯通几种标准形的几何背景和代数操作。

注重几个基本训练

矩阵运算和变换技巧,如初等变换;
几何对象与代数对象之间的对应和转换;
正交化思想和技术;
标准形的思想和应用。
●本课程的重、难点

四大重点:

空间观念,线性观念,欧氏度量;
矩阵的三种变换,几何背景,标准型,操作技术;
一般欧氏空间、二次型理论和方法;
二次曲线、二次曲面,欧氏分类和仿射分类。

三大难点:

向量的线性关系;
一般高维空间观念;
标准型理论及其证明思想。

●本课程教学基本内容及课时分配和教学环节安排

第一章 直线和平面(24课时,教材第1章)

内容:空间向量,与点的对应,座标;向量的内 积、外积、混合积,几何意义,计算公式;直线及其方程,平面及 其方程;点线面关系。
重点:空间向量及其运算,直线和平面方程,相互关系。
难点:空间观念,从向量的观点表达空间几何对象。

第二章 行列式(18课时,教材第2章)
内容:排列的奇偶性,行列式概念;行列式的对称性、线性性质、交错性质;行列式展开,克拉默定理;行列式计算。
重点:行列式的概念与计算。
难点:奇偶性;拉普拉斯展开。

第三章 矩阵与向量(42课时,教材第3章)
内容:从线性系统、线性方程组到数域、向量,矩阵概念;矩阵的各种运算及其运算性质,分块运算;数组空间的子空间,向量的线性关系;矩阵的秩,初等变换;矩阵可逆的等价条件;等价标准型定理;线性方程组理论和操作技术。
重点:线性系统与向量、矩阵概念;初等变换技术与应用;等价标准型及其应用;线性方程组。
难点:向量的线性关系;矩阵可逆及其逆矩阵。

第四章 多项式(14课时,教材第5章)
内容:多项式的整除理论;因式分解,多项式的根。
重点:整除理论,因式分解。
难点:因式分解。

第五章 特征值和相似对角化(16课时,教材第6章+第7.1节)
内容:特征值,特征向量,特征多项式;特征子 空间概念;矩阵相似对角化的判定与操作计算;矩阵的零化多项式,凯莱-哈密顿定理,极小多项式。
重点:特征值的几何重数与代数重数,特征子空间,矩阵相似对角化。
难点:特征多项式与极小多项式。

第六章 二次型(21课时,教材第8章)
内容:二次型的函数形式和矩阵形式,基本问题;逐步配方法,合同变换法;实向量空间的内积,正交矩阵,主轴定理;惯性定理;实二次型的正负性。
重点:二次型的两种形式及其平方和变换,正交化方法及应用,正交矩阵;正定性。
难点:正交概念,正交化思想方法。

第七章 二次曲面(24课时,教材第10章)
内容:空间曲线与曲面及其方程,几类曲面;平面欧氏变换与二次曲线的欧氏分类;空间欧氏变换与二次曲面的欧氏分类;仿射变换与二次曲面的仿射分类。
重点:空间观念与代数形式;空间变换,二次曲线二次曲面分类;具体计算方法。
难点:空间变换与坐标变换的关系。

第八章 射影几何初步(10课时,教材第11章)
内容:射影平面,齐次座标;对偶命题,对偶原理及其应用;摄影变换,二次曲面射影分类。
重点:射影概念,齐次座标,对偶原理,射影分类。
难点:射影平面和射影变换概念。

第九章 向量空间与线性映射(30课时,教材第4章)
内容:一般向量空间概念,线性映射和线性变换;线性映射和线性变换在基底下的矩阵;基底变换、坐标变换和矩阵变换;子空间,子空间直和;线性变换的不变子空间,一维不变子空间。
重点:线性概念,基底及其变换,坐标变换和矩阵变换;空间分解,线性变换下的空间性质。
难点:抽象向量空间概念,线性映射概念。

第十章 欧式空间,酉空间(26课时,教材第9章)
内容:高维空间的欧氏度量,复空间的埃尔米特型,酉空间;内积空间的变换及相应的矩阵,谱定理及有关计算;正交矩阵的实标准形;最小平方逼近和广义逆。
重点:抽象实向量空间复向量空间的度量结构,实二次型和埃尔米特型;正交变换下的标准形问题;欧氏度量逼近。
难点:抽象欧氏度量和酉度量。

第十一章 矩阵相似标准型(16课时,教材第7章)
内容:多项式矩阵与矩阵多项式,多项式矩阵的初等变换,三组不变量;矩阵相似的判定定理;若尔当标准形定理的证明和应用。
重点:多项式矩阵的初等变换,多项式矩阵的三组不变量;若尔当标准形定理的证明和应用。
难点:三组不变量及矩阵标准型。
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