复变函数与积分变换教学大纲

　　一、课程目标
　　本课程由复变函数和积分变换两部分构成。复变函数是高等学校工科类学生必需具备的工程数学知识，它既是高等数学的重要后继课程之一，也是学习滲流力学、电磁场理论等后继课程的预备课。现在复变函数理论和方法被广泛应用于自然科学的许多领域中，是解决诸如流体力学、热学、电磁学、和平面弹性力学的有力工具。通过本课程的学习，应使学生正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养学生使用这些概念和方法解决实际问题的能力。
　　积分变换是频谱分析、信号分析、线性系统分析、及微分方程求解的重要工具，本课程要求学生掌握积分变换的基本概念、基本性质，并能借助积分变换表来解决一些与积分变换有关的数学问题。
　　二、基本要求
　　通过本课程的学习，要求学生掌握、了解以下内容。
　　1．复数与复变函数
　　(1)掌握复数的模、辐角的概念及三角表示方法，牢记复数的加、减、乘、除、乘方、开方六则运算法则。
　　(2)了解复变函数极限、连续概念的描述性定义及严格的 定义，能够通过转化为实问题来求复变函数的极限及判别复变函数的连续性。
　　2．解析函数及初等解析函数
　　(1)正确理解可导、解析的概念及二者关系。
　　(2)牢记判别函数解析性的方法：柯西—黎曼定理，这是复变函数的重要结论之一。
　　(3)掌握五类基本初等函数各自的定义，特性，运算公式，解析性及与相应实函数相比的差别。
　　(4)知道调和函数的概念、调和函数和解析函数之间的关系，并会求共轭调和函数。
　　3．复变函数的积分
　　(1)掌握复积分概念、基本性质及基本计算法：参数方程法。
　　(2)理解并牢记复积分三大定理：柯西积分定理、柯西积分公式、高阶导数公式及一个推论：闭路变型原理，它们构成了复变函数理论的基础。
　　(3)熟练掌握运用上述定理求解闭合曲线上的复变函数积分的方法，这是本课程要介绍的计算复积分的第二种方法。
　　4．复级数及其复变函数的展开
　　(1)了解复数项级数的收敛、绝对收敛的概念及判别方法，知道幂级数收敛半径的概念及收敛半径公式。
　　(2)知道函数展成泰勒级数、罗朗级数的条件及系数计算公式。
　　(3)熟记几个常见简单函数的泰勒展式。在此基础上，要求掌握通过恒等变形、逐项积分、逐项微分的方法将其它一些函数按要求展成泰勒级数或罗朗级数的方法：间接展开法。这是本课程的又一重点运算。
　　5．孤立奇点分类及留数
　　留数是复变函数理论的重要组成部分，所以是本课程的重点内容之一。
　　(1)掌握孤立奇点的概念及分类方法，并能熟练运用这些方法对所给定的函数的奇点进行分类。
　　(2)掌握留数概念及留数定理，其中留数定理给出了计算复变函数积分的第三种方法：留数法。
　　(3)熟练掌握求复变函数孤立奇点处留数的各种方法，这是本课程的重点运算之一。
　　(4)了解利用留数计算定积分的方法，并会用它求解几个简单类型的定积分。
　　6．积分变换
　　(1)熟记两类积分变换的定义及基本性质：线性运算、微分公式、积分公式、位移、延迟公式。这是把积分变换作为求解问题的工具的基础。
　　(2)了解单位脉冲函数的定义，熟记与之有关的几个公式，了解广义付氏变换.
　　(3)熟练掌握两类变换的卷积的概念及卷积定理。
　　(4)会通过卷积定理、积分变换性质并结合积分变换表间接求一些函数的正变换或逆变换。
　　(5)了解用留数求拉氏逆变换的公式，知道初值定理、终值定理，这在有关专业课中要直接用到。
　　(6)了解两类积分变换在线性系统及在求解常微方程、偏微方程中的应用。
　　三、教学内容与学时分配建议
　　第一章 复数与复变函数(5学时)
　　1．复数表示及其运算
　　2．有关平面点集的几个概念;区域及其单连通、多连通
　　3．复变函数及其极限、连续概念
　　第二章 解析函数(6学时)
　　1．导数、解析的概念;判别函数解析性的方法:柯西-黎曼定理
　　2．五类基本初等函数及其性质
　　第三章 复变函数的积分(8学时)
　　1．复积分概念、性质及参数方程计算法
　　2．积分与路径无关的条件,复变函数的不定积分及柯西基本定理
　　3．闭路变形原理,柯西积分公式,高阶导数公式
　　4．解析函数与调和函数之间关系
　　第四章 级数(6学时)
　　1．复数项级数概念及其收敛性
　　2．幂级数收敛半径的概念及其求法,幂级数运算及和函数性质
　　3．解析函数的泰勒展开、罗朗展开定理,常见函数的级数展开
　　第五章 留数及其应用(8学时)
　　1．孤立奇点概念、分类及判别法
　　2．留数概念、留数定理及留数计算
　　3．函数在无穷远点的性态及无穷远处的留数
　　4．留数在计算定积分中的应用
　　第六章 傅立叶变换(6-7学时)
　　1．傅氏积分公式, 傅立叶积分变换概念及其计算
　　2．函数概念、性质； 傅立叶积分变换的性质
　　3．卷积概念及卷积定理
　　第七章 拉普拉斯变换(7-9学时)
　　1．拉氏变换的概念、存在定理及其计算
　　2．拉氏变换的基本性质
　　3．拉氏逆变换,卷积及卷积定理
　　4．积分变换在求解常微方程、偏微方程中的应用
　　四、教材及教学参考书
　　教材
　　1．《复变函数与积分变换》, 张高民等编, 中国石油大学出版社, 2006年。
　　2．《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室编, 高等教育出版社, 1996年，国家统编。
　　3．《积分变换》, 南京工学院数学教研室编, 高等教育出版社, 1993年，国家统编。
　　教学参考书
　　1．《复变函数与拉普拉斯变换》, 金忆丹编, 浙江大学出版社, 1994年。
　　2．《复变函数》, 上海交通大学应用数学系编, 上海交通大学出版社, 1998年。
　　3．《积分变换》, 祝同江编, 高等教育出版社, 1996年，国家统编。